2014·山东卷(理科数学)含解析

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2014·山东卷(文科数学) 1.[2014· 山东卷] 已知 a,b∈R,i 是虚数单位,若 a+i=2-bi,则(a+bi)2=( ) A.3-4iB.3+4i C.4-3iD.4+3i 1.A [解析]因为 a+i=2-bi,所以 a=2,b=-1,所以(a+bi)2=(2-i)2=3-4i. 2.[2014· 山东卷] 设集合 A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},则 A∩B=( ) A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4) 2.C [解析]因为集合 A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},所以 A∩B={x|1≤x<2},故 选 C. 1 3.[2014· 山东卷] 函数 f(x)= 的定义域为( ) log2x-1 A.(0,2) B.(0,2] C.(2,+∞) D.[2,+∞) 3.C [解析]若函数 f(x)有意义,则 log2x-1>0,∴log2x>1,∴x>2. 4.[2014· 山东卷] 用反证法证明命题“设 a,b 为实数,则方程 x2+ax+b=0 至少有一 个实根”时,要做的假设是( ) 2 A.方程 x +ax+b=0 没有实根 B.方程 x2+ax+b=0 至多有一个实根 C.方程 x2+ax+b=0 至多有两个实根 D.方程 x2+ax+b=0 恰好有两个实根 4.A [解析]方程“x2+ax+b=0 至少有一个实根”等价于“方程 x2+ax+b=0 有一 个实根或两个实根”,所以该命题的否定是“方程 x2+ax+b=0 没有实根”.故选 A. 5. ,[2014· 山东卷] 已知实数 x,y 满足 axy B.sinx>siny C.ln(x2+1)>ln(y2+1) 1 1 D. 2 > 2 x +1 y +1 5.A [解析]因为 ax<ay(0<a<1),所以 x>y,所以 x3>y3 恒成立.故选 A. 6. ,[2014· 山东卷] 已知函数 y=loga(x+c)(a,c 为常数,其中 a>0,a≠1)的图像如图 11 所示,则下列结论成立的是( ) 图 11 A.a>1,x>1B.a>1,01D.0

图像与 x 轴的交点在区间(0,1)之间,∴该函数的图像是由函数 y=logax 的图像向左平移不 到 1 个单位后得到的,∴0<c<1. π 7. ,[2014· 山东卷] 已知向量 a=(1, 3),b=(3,m),若向量 a,b 的夹角为 ,则实 6 数 m=( ) A.2 3B. 3 C.0D.- 3 π a· b 3+ 3m 3 3+ 3m 7.B [解析]由题意得 cos = = ,即 = ,解得 m= 3. 6 |a||b| 2 9+m2 2 2 9+m2 8.[2014· 山东卷] 为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿 者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16, 17].将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,„„,第五组,图 12 是根据试 验数据制成的频率分布直方图,已知第一组与第二组共有 20 人,第三组中没有疗效的有 6 人,则第三组中有疗效的人数为( ) 图 12 A.6B.8C.12D.18 8.C [解析]因为第一组与第二组共有 20 人,并且根据图像知第一组与第二组的频率 3 之比是 0.24∶0.16=3∶2, 所以第一组的人数为 20× =12.又因为第一组与第三组的频率之 5 2 比是 0.24∶0.36=2∶3,所以第三组有 12÷ =18 人.因为第三组中没有疗效的人数为 6,所 3 以第三组中有疗效的人数是 18-6=12. 9.[2014· 山东卷] 对于函数 f(x),若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都 有 f(x)=f(2a-x),则称 f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是( ) A.f(x)= xB.f(x)=x2 C.f(x)=tanxD.f(x)=cos(x+1) 9.D [解析]因为 f(x)=f(2a-x),所以函数 f(x)的图像关于 x=a 对称.A 选项中,函数 f(x)= x没有对称性;B 选项中,函数 f(x)=x2 关于 y 轴对称,与 a≠0 ;C 选项中,函 数 f(x)=tanx 也没有对称性; D 选项中, 函数 f(x)=cos(x+1)的图像是由函数 g(x)=cosx 的图 像向左平移一个单位后得到的,又函数 g(x)=cosx 的图像关于 x=kπ (k∈Z)对称,所以函数 f(x)=cos(x+1)的图像关于 x=kπ -1(k∈Z)对称.故选 D. x-y-1≤0,  10.[2014· 山东卷] 已知 x,y 满足约束条件 当目标函数 z=ax+by(a>0,  2x-y-3≥0, 第 2 页 共 9 页

b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为( A.5B.4 ) C. 5D.2 10.B [解析]画出关于 x,y 的不等式组表示的可行域,如图阴影部分所示. 显然当目标函数 z=ax+by 过点 A(2,1)时,目标函数 z=ax+by 取得最小值,即 2 5= 2a+b,所以 2 5-2a=b,所以 a2+b2=a2+(2 5-2a)2=5a2-8 5a+20.构造函数 m(a)= 4 5 5a2-8 5a+20(0

14. [2014· 山东卷] 圆心在直线 x-2y=0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 圆 C 截 x 轴所 得弦的长为 2 3,则圆 C 的标准方程为________. 14. (x-2)2+(y-1)2=4 [解析]因为圆心在直线 x-2y=0 上, 所以可设圆心坐标为(2b, b). 又圆 C 与 y 轴的正半轴相切, 所以 b>0, 圆的半径是 2b.由勾股定理可得 b2+( 3)2=4b2, 解得 b=± 1.又因为 b>0,所以 b=1,所以圆 C 的圆心坐标为(2,1),半径是 2,所以圆 C 的 标准方程是(x-2)2+(y-1)2=4. x2 y2 15. ,[2014· 山东卷] 已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 a b x2=2py(p>0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的 渐近线方程为________. 15.y=± x p p [解析]由题意可知,抛物线的焦点 F 为 0,2,准线方程为 y=-2.因为|FA| p y=- , 2 2 2 p p  +a2=c2,   =b2.联立 =c, 所以 即 消去 y, 得 x=± 2 2 2 2     x y - =1, a2 b2    a2p2 a2+ 2 , 即 x=± 2 4b a.又因为双曲线截抛物线的准线所得的线段长为 2c, 所以 2 2a=2c, 即 2a=c, 所以 b=a, 所以双曲线的渐近线方程为 y=± x. 16. ,[2014· 山东卷] 海关对同时从 A,B,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检 测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些 商品抽取 6 件样品进行检测. 地区 数量 A 50 B 150 C 100 (1)求这 6 件样品中来自 A,B,C 各地区商品的数量; (2)若在这 6 件样品中随机抽取 2 件送往甲机构进行进一步检测,求这 2 件商品来自相 同地区的概率. 16.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是 6 1 1 1 = ,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50× =1,150× 50 50 50+150+100 50 1 =3,100× =2. 50 所以 A,B,C 三个地区的商品被选取的件数分别是 1,3,2. (2)设 6 件来自 A,B,C 三个地区的样品分别为:A;B1,B2,B3;C1,C2.则抽取的这 2 件商品构成的所有基本为: {A,B1},{A,B2},{A,B3},{A,C1},{A,C2},{B1,B2},{B1,B3},{B1,C1}, {B1,C2},{B2,B3}{B2,C1},{B2,C2},{B3,C1},{B3,C2},{C1,C2},共 15 个. 每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本的出现是等可能的. 记 D 为“抽取的这 2 件商品来自相同地区”, 则 D 包含的基本有{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},{C1,C2},共 4 个. 4 4 所以 P(D)= ,即这 2 件商品来自相同地区的概率为 . 15 15 17. , ,[2014· 山东卷] △ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA 第 4 页 共 9 页

= π 6 ,B=A+ . 3 2 (1)求 b 的值; (2)求△ABC 的面积. 17.解:(1)在△ABC 中, 由题意知,sinA= 1-cos2A= π 又因为 B=A+ , 2 π 6 所以 sinB=sinA+ =cosA= . 3 2  6 3× 3 asinB 由正弦定理可得,b= = =3 2. sinA 3 3 π π 3 (2)由 B=A+ 得 cosB=cosA+ =-sinA=- . 2 3 2  由 A+B+C=π ,得 C=π -(A+B), 所以 sinC=sin[π -(A+B)] =sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB = 3  6 6 3 × + × 3 - 3  3 3 3 . 3 1 = . 3 1 1 1 3 2 因此△ABC 的面积 S= absinC= ×3×3 2× = . 2 2 3 2 18. ,[2014· 山东卷] 如图 14 所示,四棱锥 P­ABCD 中,AP⊥平面 PCD,AD∥BC, 1 AB=BC= AD,E,F 分别为线段 AD,PC 的中点. 2 图 14 (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:BE⊥平面 PAC. 18.证明:(1)设 AC∩BE=O,连接 OF,EC.由于 E 为 AD 的中点, 第 5 页 共 9 页

1 AB=BC= AD,AD∥BC, 2 所以 AE∥BC,AE=AB=BC, 所以 O 为 AC 的中点. 又在△PAC 中,F 为 PC 的中点,所以 AP∥OF. 又 OF⊂平面 BEF,AP⊄平面 BEF, 所以 AP∥平面 BEF. (2)由题意知,ED∥BC,ED=BC, 所以四边形 BCDE 为平行四边形, 所以 BE∥CD. 又 AP⊥平面 PCD, 所以 AP⊥CD,所以 AP⊥BE. 因为四边形 ABCE 为菱形, 所以 BE⊥AC. 又 AP∩AC=A,AP,AC⊂平面 PAC, 所以 BE⊥平面 PAC. 19. , ,[2014· 山东卷] 在等差数列{an}中,已知公差 d=2,a2 是 a1 与 a4 的等比中项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=an(n+1),记 Tm=-b1+b2-b3+b4-„+(-1)nbn,求 Tn. 2 19.解:(1)由题意知,(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6),解得 a1=2. 故数列{an}的通项公式为 an=2n. (2)由题意知,bn=an(n+1)=n(n+1), 2 所以 Tn=-1×2+2×3-3×4+„+(-1)nn×(n+1). 因为 bn+1-bn=2(n+1), 所以当 n 为偶数时, Tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+„+(-bn-1+bn) =4+8+12+„+2n n (4+2n) 2 = 2 = n(n+2) , 2 当 n 为奇数时, Tn=Tn-1+(-bn) = (n-1)(n+1) -n(n+1) 2 (n+1)2 =- . 2 第 6 页 共 9 页

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